Поток вектора напряженности электрического
поля.
Пусть небольшую площадку D
S
(рис.1.2) пересекают
силовые линии электрического поля, направление которых составляет с нормалью
n
к этой площадке угол a
. Полагая, что вектор напряженности
Е
не меняется в пределах площадки D
S
, определим поток вектора напряженности
через площадку D
S
как
D F E = E D S cos a .(1.3)
Поскольку густота силовых линий равна численному значению напряжённости E , то количество силовых линий, пересекающих площадку D S , будет численно равно значению потока D F E через поверхность D S . Представим правую часть выражения (1.3) как скалярное произведение векторов E и D S = n D S , где n – единичный вектор нормали к поверхности D S . Для элементарной площадки dS выражение (1.3) принимает вид
d F E = E dS
Через всю площадку S поток вектора напряженности вычисляется как интеграл по поверхности
Поток вектора электрической индукции. Поток вектора электрической индукцииопределяется аналогично потоку вектора напряженности электрического поля
d F D = D dS
В определениях потоков заметна некоторая неоднозначность, связанная с тем, что для каждой поверхности можно задать две нормали противоположного направления. Для замкнутой поверхности положительной считается внешняя нормаль.
Теорема Гаусса.
Рассмотрим точечный положительный
электрический заряд q
, находящийся внутри произвольной
замкнутой поверхности S
(рис.
1.3). Поток вектора индукции через элемент поверхности dS
равен
(1.4)
Составляющую dS D = dS cos a элемента поверхности dS в направлении вектора индукции D рассматриваем как элемент сферической поверхности радиуса r , в центре которой расположен заряд q .
|
|
Учитывая, что dS D / r 2 равен элементарному телесному углу d w , под которым из точки нахождения заряда q виден элемент поверхности dS , преобразуем выражение (1.4) к виду d F D = q d w / 4 p , откуда после интегрирования по всему окружающему заряд пространству, т. е. в пределах телесного угла от 0 до 4 p , получим
F D = q .
Поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы равен заряду, заключенному внутри этой поверхности .
|
|
Если произвольная замкнутая поверхность S не охватывает точечный заряд q (рис. 1.4), то, построив коническую поверхность с вершиной в точке нахождения заряда, разделим поверхность S на две части: S 1 и S 2 . Поток вектора D через поверхность S найдем как алгебраическую сумму потоков через поверхности S 1 и S 2:
.
Обе поверхности из точки нахождения заряда q видны под одним телесным углом w . Поэтому потоки равны
Поскольку при вычислении потока через замкнутую поверхность используется внешняя нормаль к поверхности, легко видеть, что поток Ф 1D < 0, тогда как поток Ф 2D > 0. Суммарный поток Ф D = 0. Это означает, что поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы не зависит от зарядов, расположенных вне этой поверхности.
Если электрическое поле создаётся системой точечных зарядов q 1 , q 2 ,¼ , q n , которая охватывается замкнутой поверхностью S , то, в соответствии с принципом суперпозиции, поток вектора индукции через эту поверхность определяется как сумма потоков, создаваемых каждым из зарядов. Поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы равен алгебраической сумме зарядов, охваченныхэтой поверхностью :
Следует отметить, что заряды q i не обязательно должны быть точечными, необходимое условие - заряженная область должна полностью охватываться поверхностью. Если в пространстве, ограниченном замкнутой поверхностью S , электрический заряд распределен непрерывно, то следует считать, что каждый элементарный объём dV имеет заряд . В этом случае в правой части выражения (1.5) алгебраическое суммирование зарядов заменяется интегрированием по объёму, заключённому внутри замкнутой поверхности S :
(1.6)
Выражение (1.6) является наиболее общей формулировкой теоремы Гаусса : поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы равен суммарному заряду в объеме, охваченном этой поверхностью, и не зависит от зарядов, расположенных вне рассматриваемой поверхности . Теорему Гаусса можно записать и для потока вектора напряженности электрического поля:
.
Из теоремы Гаусса следует важное свойство электрического поля: силовые линии начинаются или заканчиваются только на электрических зарядах или уходят в бесконечность . Еще раз подчеркнем, что, несмотря на то, что напряжённость электрического поля E и электрическая индукция D зависят от расположения в пространстве всех зарядов, потоки этих векторов через произвольную замкнутую поверхность S определяются только теми зарядами, которые расположены внутри поверхности S .
Дифференциальная форма теоремы Гаусса. Отметим, чтоинтегральная форма теоремы Гаусса характеризует соотношения между источниками электрического поля (зарядами) и характеристиками электрического поля (напряженностью или индукцией) в объеме V произвольной, но достаточной для формирования интегральных соотношений, величины. Производя деление объема V на малые объемы V i , получим выражение
справедливое как в целом, так и для каждого слагаемого. Преобразуем полученное выражение следующим образом:
(1.7)
и рассмотрим предел, к которому стремится выражение в правой части равенства, заключенное в фигурных скобках, при неограниченном делении объема V . В математике этот предел называют дивергенцией вектора (в данном случае вектора электрической индукции D ):
Дивергенция вектора D в декартовых координатах:
Таким образом выражение (1.7) преобразуется к виду:
.
Учитывая, что при неограниченном делении сумма в левой части последнего выражения переходит в объемный интеграл, получим
Полученное соотношение должно выполняться для любого произвольно выбранного объема V . Это возможно лишь в том случае, если значения подынтегральных функций в каждой точке пространства одинаковы. Следовательно, дивергенция вектора D связана с плотностью заряда в той же точке равенством
или для вектора напряженности электростатического поля
Эти равенства выражают теорему Гаусса в дифференциальной форме .
Отметим, что в процессе перехода к дифференциальной форме теоремы Гаусса получается соотношение, которое имеет общий характер:
.
Выражение называется формулой Гаусса - Остроградского и связывает интеграл по объему от дивергенции вектора с потоком этого вектора сквозь замкнутую поверхность, ограничивающую объем.
Вопросы
1) В чем заключается физический смысл теоремы Гаусса для электростатического поля в вакууме
2) В центре куба находится точечный заряд q . Чему равен поток вектора Е :
а) через полную поверхность куба; б) через одну из граней куба.
Изменятся ли ответы, если:
а) заряд находится не в центре куба, но внутри его; б) заряд находится вне куба.
3) Что такое линейная, поверхностная, объемная плотности заряда.
4) Укажите связь объемной и поверхностной плотности зарядов.
5) Может ли поле вне разноименно и однородно заряженных параллельных бесконечных плоскостей быть отличным от нуля
6) Электрический диполь помещен внутрь замкнутой поверхности. Каков поток сквозь эту поверхность
Основная прикладная задача электростатики – расчет электрических полей, создаваемых в различных приборах и аппаратах. В общем виде эта задача решается с помощью закона Кулона и принципа суперпозиции. Однако эта задача очень усложняется при рассмотрении большого числа точечных или пространственно распределенных зарядов. Еще большие трудности возникают при наличии в пространстве диэлектриков или проводников, когда под действием внешнего поля Е 0 происходит перераспределение микроскопических зарядов, создающих свое дополнительное поле Е. Поэтому для практического решения этих задач используют вспомогательные методы и приемы, использующие сложный математический аппарат. Мы рассмотрим самый простой метод, основанный на применении теоремы Остроградского – Гаусса. Чтобы сформулировать эту теорему введем несколько новых понятий:
А)плотность заряда
Если заряженное тело велико, то нужно знать распределение зарядов внутри тела.
Объемная плотность заряда – измеряется зарядом единицы объема:
Поверхностная плотность заряда – измеряется зарядом единицы поверхности тела (когда заряд распределяется по поверхности):
Линейная плотность заряда (распределение заряда вдоль проводника):
б) вектор электростатической индукции
Вектором
электростатической индукции
(вектором электрического
смещения) называется векторная величина,
характеризующая электрическое поле.
Вектор
равен произведению вектора
на абсолютную диэлектрическую
проницаемость среды в данной точке:
Проверим размерность D в системе единиц СИ:
,
т.к.
,
то размерности D и Е не совпадают, а также различны и их численные значения.
Из
определения
следует, что для поля вектора
имеет место тот же принцип суперпозиции,
как и для поля
:
Поле
графически изображается линиями
индукции, точно так же как и поле
.
Линии индукции проводятся так, что
касательная в каждой точке совпадает
с направлением
,
а число линий равно численному значениюD
в данном месте.
Чтобы
понять смысл введения
рассмотрим пример.
|
|
|
на границе
полости с диэлектриком концентрируются
связанные отрицательные заряды и
|
|
Для этого же случая:D = Eεε 0 |
Таким
образом
– непрерывность
линий индукции значительно облегчает
вычисление
|
|
ε> 1
поля уменьшается враз и скачком уменьшается густота.
,
тогда: линии
идут непрерывно. Линии
начинаются на свободных зарядах (у
на
любых – связанных или свободных), и
на границе диэлектрика их густота
остается неизменной.
,
а, зная связь
с
можно найти вектор
.
в) поток вектора электростатической индукции
Рассмотрим
в электрическом поле поверхность S
и выберем направление нормали
1. Если поле однородно, то число силовых линий через поверхность S:
2. Если поле неоднородно, то поверхность разбивают на бесконечно малые элементы dS, которые считают плоскими и поле возле них однородным. Поэтому поток через элемент поверхности равен: dN = D n dS,
а полный поток через любую поверхность:
(6)
Поток индукции N – величина скалярная; в зависимости от может быть > 0 или < 0, или = 0.
Когда зарядов много, при расчётах полей возникают некоторые трудности.
Преодолеть
их помогает теорема Гаусса. Суть теоремы
Гаусса
сводится к следующему: если произвольное
количество зарядов мысленно окружить
замкнутой поверхностью S,
то поток напряжённости электрического
поля через элементарную площадку dS
можно записать как dФ
= Есоsα۰dS
где α
- угол между нормалью к плоскости и
вектором напряжённости 
.
(рис.12.7)
Полный же поток через всю поверхность будет равен сумме потоков от всех зарядов, произвольным образом распределённых внутри её и пропорционально величине этого заряда
(12.9)
Определим поток вектора напряжённости сквозь сферическую поверхность радиуса r, в центре которой расположен точечный заряд +q (рис.12.8). Линии напряжённости перпендикулярны поверхности сферы, α =0, следовательно соsα = 1. Тогда
Если поле образовано системой зарядов, то
Теорема Гаусса: поток вектора напряжённости электростатического поля в вакууме сквозь любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, делённой на электрическую постоянную.
(12.10)
Если внутри сферы зарядов нет, то Ф = 0.
Теорема Гаусса позволяет сравнительно просто рассчитать электрические поля при симметрично распределённых зарядов.
Введём понятие о плотности распределенных зарядов.
Линейная плотность обозначается τ и характеризует заряд q, приходящийся на единицу длины ℓ. В общем виде может быть рассчитана по формуле
(12.11)
При
равномерном распределении зарядов
линейная плотность равна 
Поверхностная плотность обозначается σ и характеризует заряд q, приходящийся на единицу площади S. В общем виде определяется по формуле
(12.12)
При
равномерном распределении зарядов по
поверхности поверхностная плотность
равна 
Объёмная плотность обозначается ρ, характеризует заряд q, приходящийся на единицу объёма V. В общем виде определяется по формуле
(12.13)
При
равномерном распределении зарядов она
равна 
.
Так как заряд q располагается на сфере равномерно, то
σ
= const.
Применим теорему Гаусса. Проведём сферу
радиусом через точку А. Поток вектора
напряжённости рис.12.9 сквозь
сферическую поверхность радиуса равен
соsα
= 1, так как α
= 0. По теореме Гаусса, 
.
или
(12.14)
Из
выражения (12.14) следует, что напряжённость
поля вне заряженной сферы такая же, как
напряжённость поля точечного заряда,
помещённого в центре сферы. На поверхности
сферы, т.е. r 1
= r 0
, напряжённость 
.
Внутри сферы r 1 < r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.
Цилиндр радиусом r 0 равномерно заряжен с поверхностной плотностью σ (рис.12.10). Определим напряжённость поля в произвольно выбранной точке А. Проведём через точку А воображаемую цилиндрическую поверхность радиусом R и длиной ℓ. Вследствие симметрии поток будет выходить только через боковые поверхности цилиндра, так как заряды на цилиндре радиуса r 0 распределены по его поверхности равномерно, т.е. линии напряжённости будут радиальными прямыми, перпендикулярными боковым поверхностям обоих цилиндров. Так как поток через основание цилиндров равен нулю (cos α = 0), а боковая поверхность цилиндра перпендикулярна силовым линиям (cos α = 1), то
или
(12.15)
Выразим величину Е через σ - поверхностную плотность. По определению,
следовательно,
Подставим значение q в формулу (12.15)
(12.16)
По
определению линейной плотности, 
, откуда 
;
подставляем это выражение в формулу
(12.16):
(12.17)
т.е. напряжённость поля, создаваемого бесконечно длинным заряженным цилиндром, пропорциональна линейной плотности заряда и обратно пропорциональна расстоянию.
Напряжённость поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью
Определим
напряжённость поля, создаваемого
бесконечной равномерно заряженной
плоскостью в точке А. Пусть поверхностная
плотность заряда плоскости равна σ. В
качестве замкнутой поверхности удобно
выбрать цилиндр, ось которого
перпендикулярна плоскости, а правое
основание содержит точку А. Плоскость
делит цилиндр пополам. Очевидно, что
силовые линии перпендикулярны плоскости
и параллельны боковой поверхности
цилиндра, поэтому весь поток проходит
только через основания цилиндра. На
обоих основаниях напряжённость поля
одинакова, т.к. точки А и В симметричны
относительно плоскости. Тогда поток,
через основания цилиндра равен
Согласно теореме Гаусса,
Так
как 
,
то 
,
откуда
(12.18)
Таким образом, напряжённость поля бесконечной заряженной плоскости пропорциональна поверхностной плотности заряда и не зависит от расстояния до плоскости. Следовательно, поле плоскости является однородным.
Напряжённость поля, создаваемого двумя разноименно равномерно заряженными параллельными плоскостями
Результирующее
поле, создаваемое двумя плоскостями,
определяется по принципу суперпозиции
полей: 
(рис.12.12). Поле, создаваемое каждой
плоскостью, является однородным,
напряжённости этих полей равны по
модулю, но противоположны по направлению:
.
По принципу суперпозиции напряжённость
суммарного поля вне плоскости равна
нулю:
Между плоскостями напряжённости полей имеют одинаковые направления, поэтому результирующая напряжённость равна
Таким образом, поле между двумя разноименно равномерно заряженными плоскостями однородно и его напряжённость в два раза больше, чем напряжённость поля, создаваемого одной плоскостью. Слева и справа от плоскостей поле отсутствует. Такой же вид имеет и поле конечных плоскостей, искажение появляется только вблизи их границ. С помощью полученной формулы можно рассчитать поле между обкладками плоского конденсатора.
Рассмотрим, как меняется значение вектора Е на границе раздела двух сред, например, воздуха (ε 1) и воды (ε = 81). Напряженность поля в воде уменьшается скачком в 81 раз. Такое поведение вектора Е создает определенные неудобства при расчете полей в различных средах. Чтобы избежать этого неудобства вводят новый вектор D – вектор индукции или электрического смещения поля. Связь векторов D и Е имеет вид
D = ε ε 0 Е .
Очевидно, для поля точечного заряда электрическое смещение будет равно
Нетрудно увидеть, что электрическое смещение измеряется в Кл/м 2 , не зависит от свойств и графически изображается линиями, аналогичными линиям напряженности.
Направление силовых линий поля характеризует направление поля в пространстве (силовые линии, конечно, не существуют, их вводят для удобства иллюстрации) или направление вектора напряженности поля. С помощью линий напряженности можно характеризовать не только направление, но и величину напряженности поля. Для этого условились проводить их с определенной густотой, так, чтобы число линий напряженности, пронизывающих единицу поверхности, перпендикулярной линиям напряженности, было пропорционально модулю вектора Е (рис. 78). Тогда число линий, пронизывающих элементарную площадку dS, нормаль к которой n образует угол α с вектором Е , равно E dScos α = E n dS,
где E n - составляющая вектора Е по направлению нормали n . Величину dФ Е = E n dS = E dS называют потоком вектора напряженности через площадку dS (dS = dS·n ).
Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора Е через эту поверхность равен
Аналогичное выражение имеет поток вектора электрического смещения Ф D
.
Теорема Остроградского-Гаусса
Эта теорема позволяет определить поток векторов Е и D от любого количества зарядов. Возьмем точечный заряд Q и определим поток вектора Е через шаровую поверхность радиуса r , в центре которой он расположен.
Для шаровой поверхности α = 0, cos α = 1, E n = E, S = 4 πr 2 и
Ф E = E · 4 πr 2 .
Подставляя выражение для Е получим
Таким образом, из каждого точечного заряда выходит поток Ф Е вектора Е равный Q/ ε 0 . Обобщая этот вывод на общий случай произвольного числа точечных зарядов дают формулировку теоремы: полный поток вектора Е через замкнутую поверхность произвольной формы численно равен алгебраической сумме электрических зарядов, заключенных внутри этой поверхности, поделенной на ε 0 , т.е.
Для потока вектора электрического смещения D можно получить аналогичную формулу
поток вектора индукции через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме электрических зарядов, охватываемых этой поверхностью.
Если взять замкнутую поверхность, не охватывающую заряд, то каждая линия Е и D будут пересекать эту поверхность дважды – на входе и выходе, поэтому суммарный поток оказывается равным нулю. Здесь необходимо учитывать алгебраическую сумму линий, входящих и выходящих.
Применение теоремы Остроградского-Гаусса для расчета электрических полей, создаваемых плоскостями, сферой и цилиндром
Сферическая поверхность радиуса R несет на себе заряд Q, равномерно распределенный по поверхности с поверхностной плотностью σ
Возьмем точку А вне сферы на расстоянии r от центра и проведем мысленно сферу радиуса r симметричную заряженной (рис. 79). Ее площадь S = 4 πr 2 . Поток вектора Е будет равен
По
теореме Остроградского-Гаусса
,
следовательно,
учитывая, чтоQ
= σ·4 πr 2 ,
получим
Для точек, находящихся на поверхности сферы (R = r)
Д
ля
точек, находящихся внутри полой сферы
(внутри сферы нет заряда), Е = 0.
2
.
Полая цилиндрическая поверхность
радиусом R
и длиной l
заряжена с постоянной поверхностной
плотностью заряда
(Рис. 80). Проведем коаксиальную
цилиндрическую поверхность радиусаr
> R.
Поток вектора Е через эту поверхность
По теореме Гаусса
Приравнивая правые части приведенных равенств, получим
.
Если
задана линейная плотность заряда
цилиндра (или тонкой нити)
то
3. Поле бесконечных плоскостей с поверхностной плотностью заряда σ (рис. 81).
Рассмотрим поле, создаваемое бесконечной плоскостью. Из соображений симметрии вытекает, что напряженность в любой точке поля имеет направление, перпендикулярное к плоскости.
В симметричных точках Е будет одинакова по величине и противоположна по направлению.
Построим мысленно поверхность цилиндра с основанием ΔS. Тогда через каждое из оснований цилиндра будет выходить поток
Ф Е = Е ΔS, а суммарный поток через цилиндрическую поверхность будет равен Ф Е = 2Е ΔS.
Внутри поверхности заключен заряд Q = σ · ΔS. Согласно теореме Гаусса должно выполняться
откуда
Полученный результат не зависит от высоты выбранного цилиндра. Таким образом напряжённость поля Е на любых расстояниях одинакова по величине.
Для двух разноименно
заряженных плоскостей с одинаковой
поверхностной плотностью заряда σ
по принципу суперпозиции вне пространства
между плоскостями напряжённость поля
равна нулю Е = 0, а в пространстве между
плоскостями
(рис. 82а). В случае, если плоскости заряжены
одноименными зарядами с одинаковой
поверхностной плотностью зарядов,
наблюдается обратная картина (рис.
82б). В пространстве между плоскостями
Е=0, а в пространстве за пределами
плоскостей
.